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Prodigiosa importanza della nozione di invarianza in fisica

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Galileo Galilei
Galileo Galilei

di Carlo Bernardini

Carlo Bernardini
Carlo Bernardini

Il problema “teorico” più importante è presto detto: che ci fosse un principio di causalità, lo pensavano anche gli antichi filosofi, Aristotele compreso. Se un “agente” fa qualcosa a un corpo pesante, ne consegue un “effetto”. L’agente sarà una “forza”, ma l’effetto visibile è, per gli “ingenui”, la velocità del corpo: forza = causa, velocità = effetto. Questa è la base persistente (ahimé, ancora oggi) della cosiddetta “fisica ingenua”. La nozione di accelerazione, nella fisica ingenua, non c’è: i livelli della percezione sono troppo primitivi perché un umano distratto si accorga della variazione della velocità piuttosto che della velocità. Per maneggiare nozioni come la “dipendenza della velocità dal tempo” – e non solo la posizione del corpo, ben visibile – occorre un’idea almeno intuitiva di funzione di una variabile e della sua possibile variazione (e non parliamo di una notazione simbolica adeguata).
In tutta la scienza pregalileiana si trovano, indubbiamente seppure raramente, enunciati e nozioni formalizzate, ma la formalizzazione non va al di là di relazioni algebriche rudimentali o di figure atte a utilizzare risultati della geometria euclidea. Quando Galilei compare sulla scena italiana e mondiale, uno dei suoi contributi importanti è una formalizzazione enormemente innovativa, da cui molto dopo prenderanno le mosse sia la relatività speciale (dal discorso detto “della nave”, vedi avanti) che la relatività generale (“principio di equivalenza”, vedi avanti): si tratta dell’invarianza della fisica e delle sue leggi sotto trasformazioni – questa è la parola chiave – di particolari elementi della formalizzazione stessa. Tuttavia, gli strumenti formali per produrre la versione generale delle trasformazioni di fatto non ci sono ancora e non ci saranno per un bel po’. Sicché Galileo dovrà cavarsela a parole; e lo farà brillantemente, in quell’italiano espressivo che solo per Italo Calvino avrà il doppio pregio del valore letterario e scientifico.
La notazione f(x) per indicare una “funzione della variabile x “ fu infatti introdotta da Leonard Euler solo negli anni 1734-35, sui Commentarii Academie scientiarum imperialis Petropoli; e, per giunta, la nozione attuale di funzione di una o più variabili risale al 1837 ed è di J. Lejeune-Dirichlet (Repert. Phys. Berlin, 1, pg 152). E’ difficile immaginare come facessero i matematici e i fisici del ‘600 ad avere rappresentazioni mentali formalizzate in un linguaggio operativo efficiente; del resto, dell’importanza delle notazioni anche al livello più elementare dell’analisi testimonia la diatriba Newton-Leibniz: è innegabile che le notazioni di Leibniz, simili a quelle ancora in uso, fossero assai più accettabili delle “flussioni” di Newton. Ma Galilei fa, a modo suo, dell’eccellente fisica teorica, almeno cento anni prima di queste acquisizioni: evidentemente, con altri mezzi. Ma allora, su che cosa si basano le rappresentazioni mentali di Galilei? Egli stesso dice, nei Discorsi e dimostrazioni matematiche attorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e i movimenti locali: “[il libro della natura] è scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente in un oscuro laberinto”. Dunque, Galilei conosce quella parte della matematica che oggi chiamiamo “Geometria Euclidea” , indubbiamente già molto sviluppata. Ma conosce anche la parola accelerazione e perfino la composizione vettoriale di moti ortogonali, come dice nella quarta giornata dei Discorsi: “…il mobile, che immagino dotato di gravità, giunto all’estremo del piano [inclinato] aggiungerà al primo moto uniforme ed indelebile, l’inclinazione verso il basso acquistata dalla propria gravità e ne sorgerà un moto composto di un moto orizzontale uniforme e di un moto verticale naturalmente accelerato”. Questo modo di vedere le cose, i fatti naturali, già nella propria mente, scomposti e ricomposti secondo regole che danno un significato alla rappresentazione è già un elemento di teoria nel senso più moderno del termine.
Ma Galilei mostra tutta la sua straordinaria grandezza in un’altra capacità che condivide solo con i massimi fisici contemporanei: Einstein,primo tra tutti, Bohr, Schroedinger e pochissimi altri. E’ capace di argomentare con “esperimenti pensati”, Gedankenexperimenten nella letteratura che usiamo oggi. Il suo celebre passo che annulla il significato “assoluto” della parola velocità e ne fa un concetto relativo da cui nasceranno i già detti sviluppi più stupefacenti della fisica del ‘900 è un esempio che tutti conoscono ma non è mai abbastanza ripetuto. Si trova nel Dialogo sopra i due Massimi Sistemi del Mondo ed è sobriamente intitolato: In mare, sotto coverta. Ecco cosa dice Salviati, nelle sue parti essenziali:
Galileo Galilei“ Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio e quivi fate di aver mosche farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gan vaso d’acqua e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze siano eguali […]. Osservate che avrete tutte queste cose, benché niun dubbio vi sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; chè (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina o sta ferma […]. E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione ‘essere il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all’aria ancora, che perciò dissi io che si stesse sotto coverta […]. Interviene a questo punto Sagredo, con una perspicua osservazione che fa ben capire la genialità dell’argomento che trasforma osservazioni comunissime in una conclusione sbalorditiva:
Queste osservazioni, ancorché navigando non mi sia caduto in mente di farle a posta, tuttavia son più che sicuro che succederanno nella maniera raccontata: in confermazione di che mi ricordo essermi cento volte trovato, essendo nella mia camera, a domandar se la nave camminava o stava ferma e talvolta, essendo sopra fantasia, ho creduto che ella andasse per un verso, mentre il moto era al contrario. […]
Uno dei motivi per i quali penso che Galilei debba ancora oggi essere studiato nelle scuole con estrema attenzione e soprattutto nei corsi di filosofia e letteratura è che non è difficile constatare che molta gente fa ancora fatica a capire questa nozione di relatività e il suo stretto legame con il principio di inerzia, con la nozione di forza, con l’importanza dell’accelerazione. La “fisica ingenua” non è mai salita sul naviglio di Galilei per verificare l’invarianza sotto trasformazioni dei sistemi di riferimento in moto relativo uniforme. Ma, sia per la chiarezza del discorso (all’epoca, una vera e propria rivalsa del “volgare” sull’oscurità del latino) sia per la forza del ragionamento induttivo che prelude a tutte le fenomenologie moderne (dopo gli innumerevoli sterili tentativi di assiomatizzazione delle meccaniche razionali e delle fisiche matematiche, particolare vanto dell’accademia italiana dell’800, dominata da ossessioni deduttive), io credo che Galilei sia ancora oggi ricco di insegnamenti illuminanti.

E però, proprio prendendo lo spunto dai rapporti tra matematica e fisica, spesso deformati dalle estremizzazioni delle pregiudiziali ideologiche di cui queste scienze non si liberano facilmente (e mi basterà citare fenomeni come il bourbakismo per la matematica e come il realismo classico positivista per la fisica) vorrei tentare di spiegare che proprio Galilei ci ha mostrato che la fisica teorica è un modo di pensare la realtà non guidato da tecnicismi formali quanto da immaginazione e intuizione che riescono a superare in modo del tutto nuovo lo stadio delle congetture derivanti da “ciò che appare a prima vista”. Ciò che appare a prima vista è oberato da ridondanze e da informazioni estranee derivanti da altri elementi culturali (è un aggirarsi vanamente in un oscuro laberinto; così aveva detto nei Discorsi). Galilei parla con gente che vede il Sole che gira nel cielo e deve discutere con religiosi che leggono sacre scritture in cui a quel Sole è ingiunto di fermarsi. Come potrebbe il popolino del suo tempo accettare un sistema copernicano in cui, per giunta, l’uomo non è più il centro di rotazione dell’universo? E che dire della constatazione che corpi pesanti e corpi leggeri cadono, nel vuoto, in tempi uguali partendo fermi dalla stessa altezza? Ancora oggi, molta gente pensa che la caduta sia più celere per oggetti pesanti che per oggetti leggeri; e comunque non saprebbe arrivare con mezzi propri alla conclusione che questo è vero “nel vuoto”, in assenza di quell’aria in cui siamo nati e che rallenta le piume rispetto ai sassi. Meno che mai formulerà autonomamente quel principio di equivalenza tra l’effetto di un campo gravitazionale su un grave in caduta libera e un sistema di riferimento accelerato; nemmeno quando leggerà sbalordito sui giornali che un problema, per gli astronauti moderni, è l’assenza di peso. Anche qui, le equazioni della relatività generale esibiranno una prodigiosa invarianza per trasformazione di sistemi di riferimento.
Insomma, tutto ciò che accade in natura è come una “macchina” semplice che nasconde l’essenziale sotto incrostazioni di elementi irrilevanti al fine di comprenderne il funzionamento; e l’operazione di liberarsi da ciò che è di troppo e, addirittura, intralcia la comprensione dell’essenziale, è uno dei più importanti atti della rappresentazione teorica in fisica. In qualche modo, ciò cha a volte si scopre è perfino una “inessenzialità imprevista”, da cui scaturiranno leggi di significato superiore alla banalità delle evidenze immediate: pensate, Galilei scopre che il peso di un grave non ha rilevanza nel’accelerazione della sua caduta nel vuoto. Egli non lo sa, ma questa sua scoperta, come abbiasmo detto, frutterà molti decenni dopo, rivisitata come “Principio di equivalenza”, la relatività generale di Albert Einstein. Ma anche l’isocronismo delle piccole oscillazioni dei pendoli, cioè l’indipendenza del periodo dall’ampiezza delle oscillazioni stesse, che fa del pendolo il primo oscillatore armonico e quindi il primo orologio, è una grande scoperta teorica.
Forse non tutte le intuizioni di Galilei sono corrette: la sua immaginazione corre molto, soprattutto nel superare i filtri retorici attraverso i quali fanno passare le osservazioni persone anche colte, pensatori accreditati. La cultura umana è soverchiata da una abilità, considerata con molte buone ragioni la più importante: la parola, il linguaggio proposizionale. Ciò che si può dire a parole acquista un carico di “verità” che persino i fatti sembrano non avere. E’ Galilei a interrompere questa gerarchia di valori avanzando l’idea che la comprensione dei fatti richieda un linguaggio che su quei fatti è costruito-concepito, ma piuttosto su ciò che di più semplice c’è e sia pur misurabile: i triangoli, i circoli, e tutto l’apparato euclideo. Sicché si può ben dire che la grandezza del Nostro includa anche la previsione di un linguaggio da sviluppare per poter fare la fisica teorica. E come, e con che tempi rapidi, di lì a poco si svilupperà! Sopravvivendo alle controversie, alle esagerazioni rigoriste, alle pretese di assiomatizzazione: sarà il linguaggio della maltrattata filosofia induttiva, sarà il linguaggio che permetterà alla filosofia naturale di diventare fisica teorica, al di là sia delle colonne d’Ercole della retorica che dei gorghi involutivi delle matematiche astratte. Oggi ancora, questa straordinaria premonizione di Galilei appare ostica persino alle persone istruite: che ci possa essere un “linguaggio dei fatti” che produce rappresentazioni mentali ripulite dalle incrostazioni di ogni tipo (ridondanze e pregiudizi, ma soprattutto le arbitrarie convenzioni umane, utili ma non assolute) e su cui è possibile lavorare per scoprire che cosa regola l’evoluzione del mondo. Il problema, a mio parere, è forse rintracciabile nella triplice storia evolutiva di questo linguaggio, che ha dovuto occuparsi del “dimostrare” (come “fabbrica di teoremi”, matematica pura) asserzioni astratte relative al significato di strutture simboliche; del “calcolare” (come “procedura affidabile”) risultati a partire da una proposizione formalizzata; del “formalizzare” (come linguaggio sintetico ed efficiente oltreché calcolabile), cioè produrre modelli equivalenti, simulacri simbolici attendibili dei sistemi fisici. Quest’ultima specialità è la più tipicamente ribattezzabile “fisica teorica” e avrà la sua apoteosi molto dopo Galilei, con Hamilton e Lagrange, le loro funzioni speciali e l’adozione di principi variazionali; Galilei non poteva averne idea, ma ne sarebbe stato entusiasta. Ma non è facile spiegare che un fisico teorico di oggi – giusto per fare un esempio – alla parola “cristallo”, reagisce “pensando” non certo a uno scintillante zaffiro o un trasparente bicchiere per champagne. Bensì, a una rete estesa tridimensionale di oscillatori incolori, inodori, insapori ma accoppiati tra loro, attraversati da i loro “modi normali”, i fononi – con elegante neologismo coltamente grecizzante – che esprimono l’equivalenza di quel cristallo a un “gas di eccitazioni che si propagano”. A quelle eccitazioni individuali potrà applicare tutti gli strumenti della meccanica analitica e particolarmente quei principi geometrici di invarianza dello spazio-tempo da cui Emmy Noether, già nel 1918, ha ricavato le grandi leggi di conservazione. Non a caso, questi principi di invarianza saranno chiamati da Eugene Wigner Superleggi, per la loro capacità di sopravvivere al mutare delle teorie fenomenologiche: dalla meccanica hamiltoniana alla meccanica quantistica, dall’elettromagnetismo maxwelliano all’elettrodinamica quantistica e così via. Perciò, questo linguaggio della fisica teorica ha un che di prodigioso: è un vero dispiacere che sia solo un dialetto internazionale di una comunità così piccola di epigoni galileiani, ancora sopraffatti da lingue morte.
A mio parere, il pensiero galileiano non è stato ancora studiato con sufficiente profondità per estrarne la radice tutta particolare che lo distingue dalle costruzioni mentali non scientifiche. Purtroppo, chiunque viva e assorba il modo di pensare della fisica teorica contemporanea, specie nella sua versione detta “fenomenologia”, non sembra più rendersi conto della eccezionalità e della differenza dagli altri modi, della filosofia, della politica, delle arti: trova quel modo naturale e spontaneo, non bisognoso di valutazioni epistemologiche su base linguistica. Si insiste, a buon diritto, sull’unità della cultura, ma confondendola con una pretesa e velleitaria identità delle culture: ciascuna delle quali non è “buona per tutti gli usi”. In nome di Galilei, sarà bene riconoscere a ciascuna specialità culturale la sua specificità. Forse, ci risparmieremmo inutili diatribe e prevaricazioni, incomprensioni o contrapposizioni dottrinali.