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Problema n 4: Il teorema di Pitagora vale solo per i quadrati oppure anche con altre figure?

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Ovviamente, il teorema non vale solamente per le figure quadrate , ma per qualsiasi triade di poligoni, basta che i due costruiti sui cateti siano simili a quello sull’ipotenusa. In sostanza: “In ogni triangolo rettangolo, l’area di un qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni, simili a quello costruito sull’ipotenusa, costruiti sui cateti”.
Teorema applicato agli esagoni regolari
Come si può notare dalla figura, sui cateti CA e BC sono stati costruiti 2 esagoni regolari (1 e 2), mentre sull’ipotenusa BC è stato costruito l’esagono n 3. Come ben sappiamo, l’apotema di un esagono regolare è uguale alla metà della radice quadrata di 3 (spesso approssimata a 0,866) . Inoltre possiamo affermare che l’area dell’esagono sia uguale al suo semiperimetro moltiplicato per l’apotema. Da qui possiamo affermare che A_1=(3√3)/2 〖CA〗^2 , A_2=(3√3)/2 〖AB〗^2 e A_3=(3√3)/2 〖BC〗^2. Ma, dal teorema di Pitagora, sappiamo anche che 〖AB〗^2+〖CA〗^2=〖BC〗^2. Di conseguenza possiamo dimostrare che l’area dei due esagoni costruiti sui cateti è uguale all’area dell’esagono costruito sull’ipotenusa.

Teorema applicato alle semicirconferenze

Il teorema può anche essere applicato alle circonferenze costruite sui cateti e sull’ipotenusa. In questo chiamiamo i cateti AB e BC (2a e 2b) e l’ipotenusa CA (2c). Da qui: A_(a=) π/2(〖AB/2)〗^2, A_(b=) π/2(〖BC/2)〗^2 e A_(c=) π/2(〖CA/2)〗^2. Di conseguenza : A_a=(πa^2)/8, A_b=(πb^2)/8 e A_c=(πc^2)/8. Quindi possiamo affermare che Aa +Ab è uguale all’area della semicirconferenza costruita sull’ipotenusa.