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Teorema di Pitagora

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Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora: in realtà il suo enunciato era già noto ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, mentre la dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora. L’enunciato del teorema afferma che: “in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall’equazione: a2 + b2 = c2 .
Il teorema di Pitagora, però, è valido anche se si applicano a questo diverse figure, che non siano necessariamente dei quadrati. Infatti, considerando come formula generale del teorema A1 + A2 = A3 (in cui A1 e A2 rappresentano le aree delle figure costruite sui cateti e A3 l’area della figura costruita sull’ipotenusa) e applicandola, si può dimostrare che questo teorema apre infinite possibilità interpretative, permettendo a chiunque voglia di sbizzarrirsi su un tema tanto vasto quanto interessante come questo. Tutto ciò può essere verificato applicando al teorema diverse figure, come ad esempio un rettangolo, un triangolo, un parallelogramma, un semicerchio ed un esagono regolare.
Esaminando il caso del rettangolo, si può considerare per la dimostrazione, ad esempio, un rettangolo avente la base coincidente con il lato del triangolo e l’altezza uguale alla metà del lato stesso, quindi della base; a questo punto, calcolando le aree di tali rettangoli costruiti sui lati del triangolo ( A=b∙h ) e applicando la formula sopra, si dimostra vera tale formula. Prendendo in considerazione poi il caso del triangolo, si può adoperare per la dimostrazione, ad esempio, un triangolo isoscele avente la base coincidente con il lato del triangolo e l’altezza uguale al lato stesso, e quindi alla base. Ora, dopo aver calcolato le aree dei triangoli ( A=(b ∙h)/2 ) e averle sostituite alla formula, il teorema si dimostra vero anche in questo caso, come si dimostrerebbe vero anche nel caso di un triangolo rettangolo o di un triangolo equilatero. In seguito, si può dimostrare il teorema utilizzando un parallelogramma avente, ad esempio, la base coincidente con il lato, l’altezza uguale a metà della base e un angolo di inclinazione che può benissimo variare nei diversi parallelogrammi, poiché non influisce assolutamente sul calcolo della sua area ( A=b∙h); svolgendo l’equazione, anche in questo caso appare risolta, così come lo sarebbe se l’altezza fosse 3/(2 ) , 8/5 o una qualsiasi altra frazione del lato. Si va a dimostrare ora il teorema per un semicerchio avente il diametro coincidente con il lato del triangolo; andando a calcolare le aree dei semicerchi ( A/2= (πr^2)/2 ) e considerandole nell’equazione risolvente, anche adesso l’equazione si risolve, pur avendo utilizzato una figura che non ha niente a che vedere con l’enunciato tradizionale del teorema di Pitagora e con la sua formula. Ancor più strano è forse il caso degli esagoni regolari costruiti sui lati del triangolo, aventi ognuno i lati congruenti al lato di riferimento. Si può calcolare l’area degli esagoni con le formule :
a (apotema)= l∙0,866
A= (a ∙ l)/2 ∙6
A questo punto, procedendo al solito modo, si può dimostrare il teorema vero persino questa volta, così come si dimostrerebbe vero nel caso di un ettagono, di un dodecagono o di qualsiasi poligono regolare.
Da tutto ciò si può quindi capire che il teorema di Pitagora è valido per qualsiasi tipo di figura, anche per le più svariate, purché le figure costruite di volta in volta sui cateti dei triangoli siano simili. La similitudine è una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Ciò vuol dire che queste figure costruite sui lati del triangolo, pur essendo di diversa grandezza, sono simili e che quindi possiedono le stesse caratteristiche e proprietà geometriche. Il teorema di Pitagora, quindi, non può essere tale senza il rapporto di similitudine che lega le figure costruite di volta in volta sui lati del triangolo rettangolo.