Home Ambasciatori della Festa di Scienza e Filosofia IL CONO CARTESIANO

IL CONO CARTESIANO

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Fin dall’antichità, nel mondo greco, le coniche sono state oggetto di studio.
Uno dei tanti studi effettuati ci pone davanti ad un cono, il quale viene sezionato in varie parti, le quali si chiamano Sezioni coniche.
Queste sezioni, la cui forma varia, hanno svariati nomi, i quali sono riportati nella seguente tabella insieme alle loro formule matematiche.

Lo scopo del problema è quello di capire, attraverso il ragionamento, che cosa cambia
all’interno della formula del cono se si invertono i 2 assi cartesiani. Per risolvere questo problema si può partire dalla formula generica delle coniche, che contiene i termini x², y²,xy, x, y e di partire anche dalla formula b²-4ac.

L’immagine rappresenta una conica generica sezionato da un piano generico.
Da questa intersezione si generano le varie coniche.
Per la loro generazione l’angolo che si crea tra il piano e l’asse del cono deve assumere vari valori (per esempio se l’angolo è <0 si crea un iperbole).

SOLUZIONE DEL QUESITO

Per poter risolvere il quesito bisogna partire dalla formula generica della conica, che è la
seguente: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
In questa formula le componenti colorate in verde non possono valere nello stesso momento 0, ma devono appartenere all’insieme R, ovvero possono assumere valori
tendenti da -infinito a +infinito.
Tornando al problema, si passa ora calcolare il discriminante dell’equazione che si ottiene
con la formula b²-4ac.
Il valore del discriminante deve essere uguale a 0.
Tramite questa formula si può dimostrare che il discriminante ha Sempre il valore uguale a 0, anche se lo si trasla invertendo gli assi cartesiani.
Gli altri valori (D, E, F) invece, in base alla traslazione che effettua la conica, avranno valori diversi.
Quindi si giunge alla conclusione che la soluzione del problema è:
I termini A, B, C avranno sempre lo stesso valore, invece i termini D, E, F cambieranno il valore in base alla traslazione effettuata dalla conica.

Le coniche hanno sempre interessato le persone, a partire dai greci.
Un esempio è la celebre Ipazia di Celebre filosofa e matematica antica che appare pure nel celebre quadro La scuola di Atene di Raffaello.
Ipazia scrisse un commentario alle Coniche di Apollodio.

Daniele Bei Clementi.