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Le coniche

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Le coniche, dette anche sezioni coniche, sono particolari curve così chiamate perché si ottengono dall’intersezione tra un piano ed un cono a due falde; una prima classificazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabole, iperbole) e coniche degeneri.

Le coniche nella storia

Sembra che il primo ad occuparsi di coniche sia stato Menecmo, matematico greco discepolo di Platone ed Eudosso e maestro di Alessandro Magno. Esse furono scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi: la transizione dell’angolo, la duplicazione del cubo e la quadratura del cerchio. Ad

Apollonia si deve la sistemazione razionale della trattazione delle coniche. Una delle sue opere più importanti è intitolata appunto “Le coniche”dove elaborò varie teorie.Dimostrò che non era necessario prendere sezioni perpendicolari ad un elemento del cono , e che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del piano di intersezione. Un’ altra importante generalizzazione si ebbe quando Apollonia dimostrò che non era necessario che il cono fosse un cono retto, ma che poteva benissimo essere anche un cono circolare obliquo o scaleno

Coniche non degeneri

Consideriamo un cono a due falde ed un piano non passante per il vertice V del cono. A seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse del cono si ottengono i quattro tipi di coniche non degeneri.

La Circonferenza si ottiene dall’intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse.

L’ellisse è data dall’intersezione tra il cono ed un piano che forma con l’asse del cono un angolo maggiore di alfa ma minore di 90 gradi, dove alfa è l’angolo formato tra l’asse del cono ed una delle sue generatrici.

La parabola si ricava dall’intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle sue generatrici, ossia con un piano che forma con l’asse del corpo un angolo uguale ad alfa
L’Iperbole è data dall’intersezione tra il cono ed un piano che forma con l’asse del cono un angolo minore di alfa. Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l’iperbole è l’unica conica formata da due rami distinti.
Se si prende l’equazione generale di una conica:

ax2 + bxy +cy2 + dx + ey + f = O

Il termine bxy si chiama termine rettangolare

Per sapere di quale tipo di conica si tratti si utilizza l’espressione: b2 – 4ac
se b2 – 4ac O si tratta di un’iperbole

se b2 – 4ac O si tratta di un’ellisse (caso particolare la circonferenza) se b2 – 4ac = O si tratta di una parabola.