Home Ambasciatori della Festa di Scienza e Filosofia Sezione conica

Sezione conica

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In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare con un piano.

Sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall’ intersezione tra un piano ed un cono a due falde. Si possono classificare in coniche degeneri(un punto, una retta, due rette) e non degeneri(circonferenza, ellisse, parabola, iperbole).

Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane . Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.
Se si considera l’equazione quadratica
ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2d x + 2ey +f
Si ha la seguente casistica:
Se b2 – 4ac = O forma una parabola Se b2 – 4ac < O forma in ellisse
Se b2 – 4ac > O forma un iperboleSe a=c e b=O forma una circonferenza cioè un ellisse degenere Se a+c=O forma un iperbole equilatera

Le sezioni coniche sono le curve che si possono ottenere sezionando un cono indefinito con un piano.
Intersecando con un piano la SUPERFICIE CONICA DI ROTAZIONE, si possono ottenere:

1. Una CIRCONFERENZA, se il piano taglia l’asse perpendicolarmente
2. Una ELLISSE se il piano taglia l’asse con un angolo maggiore dell’angolo di apertura minore di 90°
3. Una PARABOLA se il piano taglia l’asse con un angolo uguale all’angolo di apertura del cono, ovvero se è parallelo alla generatrice
4. Una IPERBOLE, se il piano è parallelo all’asse o forma con esso un angolo minore dell’angolo di apertura
5. Due RETTE INCIDENTI nel vertice se il piano è parallelo all’asse e passa per il vertice
6. Una RETTA (2 rette coincidenti) se il piano taglia il cono con un angolo uguale all’angolo di apertura del cono e passa per il vertice del cono
7. Un PUNTO se il piano taglia l’asse con un angolo minore di 90° e passa per il vertice del cono

La storia delle sezioni coniche

Le coniche furono studiate dal matematico Apollonia di Perga (262 a.e.
⦁ 190 a.C.) che si spostò ad Alessandria d’Egitto per esplorarne le proprietà sotto la guida del grande Euclide. Apollonia, nella sua opera Sezioni Coniche (230 a.C.), raccolse 487 teoremi inerenti alle coniche e rimase il trattato più famoso sull’argomento.
L’opera di Apollonia fu commentata dalla prima donna matematica della storia: lpazia (370 – 415). Figlia del matematico Teone di Alessandria, lpazia nel 400 era a capo della scuola platonica di Alessandria, dove teneva lezioni di filosofia e matematica.

Non si sa se abbia dato dei validi contributi allo sviluppo della matematica, ma aiutò il padre nella stesura di un commentario dell’Almagesto di Tolomeo (100 – 175).
Si pensa inoltre che lpazia abbia anticipato la prima legge di Keplero (1561 ⦁ 1630) secondo la quale i pianeti descrivono delle orbite ellittiche intorno al sole di cui esso ne occupa uno dei due fuochi. Tra gli allievi di lpazia vi furono diversi esponenti del cristianesimo allora in espansione: tra di essi Sinesio di Cirene, il quale scrisse alla sua maestra delle lettere in cui ne loda le capacità di insegnamento.
A causa delle sue ottime arti oratorie, lpazia fu considerata un ostacolo allo sviluppo del cristianesimo, in quanto si pensava che la sua filosofia affondasse le radici nel paganesimo. Quando nel 412 Cirillo, nuovo patriarca di Alessandria, entrò in contrasto col prefetto romano Oreste, amico di

lpazia, la donna divenne un bersaglio pubblico, fu uccisa e fatta a pezzi dalla folla armata di pietre appuntite.
Le sezioni coniche furono riprese da Descartes (1596 – 1650) nella sua Geometria (1637), in cui diede la loro prima trattazione con i metodi propri della geometria analitica.