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Studiare le sezioni coniche nel quotidiano

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Cosa si intende per sezioni coniche? Sono tutte quelle curve che si ottengono sezionando un cono indefinito con un piano. A seconda dell’inclinazione del piano si possono ottenere curve come la parabola, l’ellisse, l’iperbole…

Ma come siamo arrivati fino a qui? Durante la cosiddetta “Età aurea” della matematica, visse uno fra i più importanti matematici del tempo, Apollonio di Perga, che riuscì a dimostrare che era possibile ottenere diverse varietà di curve nello stesso cono, solamente modificando l’inclinazione del piano di intersezione.

Ma il primo filosofo-matematico che ci riportò delle formule algebriche sullo studio delle coniche fu Cartesio, e riuscì a farlo grazie allo studio di coniche che si trovano in natura, come gli elementi costruttivi in ambito architettonico, oppure anche dai raggi di luce che una torcia emette.
Le coniche quindi possono essere studiate anche dall’osservazione di oggetti quotidiani, come un cono gelato, che ci permette di analizzarle concretamente.

Per costruire geometricamente una conica basta prendere una superficie generata dalla rotazione di una retta attorno ad un asse, che s’incontra con la prima in un punto p qualsiasi creando un angolo di semiapertura. Così si è creata una superficie conica a due falde, che dopo essere stata intersecata con un piano non passante per il punto p crea diverse sezioni di coniche.
Gli studiosi, osservando le coniche in tutti i loro particolari, sono riusciti a ricavarne una formula caratteristica:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

Per comprendere come i valori dei vari termini variano alla rotazione degli assi delle coniche, si può analizzare il discriminante, cioè “b^2-4ac” dell’equazione caratteristica. E, grazie a questo, si può capire che tipi di conica sia:

⦁ b^2-4ac=0, allora è una parabola;
⦁ b^2-4ac>0, è un iperbole;
⦁ b^2-4ac<0, a≠c, b≠0, la conica è un ellisse

Nel caso della parabola se si ruotano i suoi assi si può dire che a variare sono tutti i termini dell’equazione delle sezioni delle coniche, cioè dx+ey+f. Questo perché, se si prende come direttrice una retta generica, y=mx+q, e si fa variare il valore di m più volte, ovvero il coefficiente angolare che determina l’inclinazione della parabola, si può osservare come detto anche sopra che cambiano solo i termini dell’ equazione delle coniche.